Если рассматривать этот вопрос исключительно внутри медицинской тематики, то «врач» и «доктор» - это синонимы. Так называют специалистов, которые занимаются лечением людей и животных от разного рода заболеваний, сохранением и укреплением их здоровья. «Врач» - чисто русское название, произошедшее от слова «врать» - лечить заговорами. Слово «доктор» пришло из европейских языков.
Если отойти от медицинской тематики, то можно вспомнить, что «доктор» - это ученая степень. Она дается человеку, защитившему докторскую диссертацию в какой-либо отрасли науки. В этом случае получается, что «доктор» - это ученый, по большей части теоретик и не обязательно с медицинским образованием. Врач же – это практикующий специалист, для которого обязательно высшее медицинское образование, но не обязательна ученая степень.
В повседневной разговорной речи, даже среди медицинских работников, слова «врач» и «доктор» остаются синонимами.