В большинстве бытовых случаев - это одно и то же.
Форсунка - исторически прижившееся название устройства для распыления жидкости или (реже) для подачи газа. Напимер: форсунка мазута в котле ТЭС, форсунка горючего/окислителя в ракетном двигателе, форсунка дизтоплива в дизельном двигателе, газовая форсунка в кухонной плите.
Инжектор - слово пришедшее вместе с бездумными переводами художественной и технической американской литературы - прямая русификация английского слова inject - впрыскивать, вводить, вставлять, вдувать, впускать, вбрызгивать.