Строго говоря, топочная – это та самая часть печи, где происходит горение топлива (дров, угля, кокса и других подходящих материалов). Но очень часто так и называют и само помещение, где эта печь располагается.
То же самое и с котельной. В узком смысле это устройство, механизм, в котором образуется горячий водяной пар (или вода). В широком понимании – здание, где устройство стоит вместе с какими-то сопутствующими установками.
Получается, что основное назначение и топочной, и котельной – получение тепла и передача его к каким-то объектам (жилым домам, школам, больницам, предприятиям). Отличаются способы: в топочных для обогрева используется энергия горения, а в котельных – горячая вода или пар.