ОБЯЗАННОСТЬ от слова ОБЯЗАН, отсюда же ОБЯЗАТЕЛЬСТВО. Обязанность как обязательство, человек САМ берет (пример: я беру обязательство окончить университет). Здесь моя ответственность.
ДОЛГ от слова ДОЛЖЕН. Долг на человека накладывает кто-то другой (пример: Афоня, ты мне рубль должен). Здесь к ответственности взывает другой.